ARMAĞAN ÜNKAZAN

Kim kendini ne sanır?


Teknisyenler mühendis olduklarını sanırlar.
Mühendisler fizikçi olduklarını sanırlar.

Fizikçiler matematikçi olduklarını sanırlar.

Matematikçiler filozof olduklarını sanırlar.

Filozoflar teknisyen olduklarını sanırlar.

ya da,

Biyologlar biyokimyacı olduklarını sanırlar.

Biyokimyacılar kimyacı olduklarını sanırlar.

Kimyacılar fiziko-kimyacı olduklarını sanırlar.

Fiziko-kimyacılar fizikçi olduklarını sanırlar.

Fizikçiler .... matematilçi olduklarını sanırlar.



ya da,

Politikacılar ekonomist olduklarını sanırlar.

Ekonomistler sosyal bilimci olduklarını sanırlar.

Sosyal bilimciler psikolog olduklarını sanırlar.

Psikologlar biyolog olduklarını sanırlar.

Biyologlar organik kimyacı olduklarını sanırlar.

Organik kimyacılar fiziko-kimyacı olduklarını sanırlar.

Fiziko-kimyacılar fizikçi olduklarını sanırlar.

Fizikçiler matematikçi olduklarını sanırlar.

Matematikçiler ...





PARADOKSLAR


Socrates'in paradoksu
"Bilidiğim tek şey hiç bir şey bilmediğimdir."

Thompson'un lamba paradoksu

Bir lamba 1/2 dakika yanık, 1/4 dk sönük, 1/8 dk yanık ... olacak şekilde lambanın düğmesi açılıp kapatılıyor. 1 dakikanın sonunda düğmeye kaç kez basılmış olur? Bu sırada lamba yanık mı olur sönük mü?

Sürpriz sınav paradoksu

Öğretmen Cuma günü şöyle diyor: "Gelecek hafta hiç ummadığınız bir gün sizi yazılı yapacağım."

Sınavın haftaya Cuma günü yapılamayacağı açık, çünkü Cumaya kadar sınav yapılmamışsa o gün herkes okula sınav olacağını bilerek gelecektir. Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz, çünkü Cuma günü yapılacak sınav sürpriz olmayacağından Perşembe'ye kadar sınav olmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır. Bu da Perşembe günü yapılacak sınavın sürpriz olmaması demektir.

O halde sınav Perşembe'den önce yapılmalıdır. Ancak sınav Salı günü de yapılmamışsa Perşembe günü de yapılamayacağından Çarşamba günü yapılmalıdır. Bu da Çarşamba günü yapılacak sınavı sürpriz olmaktan çıkarır.

Aynı şekilde mantık yürütürsek, Salı ve dolayısıyla Pazartesi günü yapılacak sınavın da sürpriz olamayacağı sonucuna varırız. Öyleyse öğretmen gelecek hafta sınav yapmayacaktır.

Fakat biraz düşünürsek, öğretmenin gelecek hafta yerine gelecek yıl demiş olması durumunda da aynı akıl yürütmeyle sürpriz bir sınavın yapılamayacağı sonucuna varırdık. Ama bu saçmalık; çünkü hepimizin bildiği gibi, her dönem 3 sınav olacağını bildiğimiz halde öğretmenin "çıkarın kağıtları, yazılısınız," demesi her zaman sürprizdir.

Bu paradoks 50 yılı aşkın bir zamandan beri felsefecileri, matematikçileri ve mantıkçıları uğraştırmaktadır. Halen tatminkar bir çözüm bulunamamıştır.

REÇEL PARADOKSU

Kraliçe:
"-Oda hizmetçim olmayı istersen, seni seve seve yanıma alırım," dedi, "haftada 2.5 lira veririm, gün aşırı da reçel."

Alice kendini tutamayıp güldü.
"-Ben sizin oda hizmetçiniz olmak istemedim ki, hem reçel de sevmem," dedi.

Kraliçe:
"-Çok güzel bir reçeldir," dedi.

"-Öyle bile olsa, canım bugün hiç reçel yemek istemiyor."

Kraliçe:
"-İstesen de bugün yiyemezsin," dedi, "dün yiyebilirdin, yarın da öyle. Gel gelelim, asla bugünün reçelini yiyemezsin burada."

Alice:
"-Arada bir bugünün reçelini yeme sırası da geliyordur mutlaka," dedi.

Kraliçe:
"-Hiç gelmez," dedi, "çünkü yalnız günaşırı reçelidir bu. Anladın mı?"

Alice:
"-Hiç bir şey anlamadım valla,"dedi, "kafam karmakarışık oldu."

Kraliçe tatlılıkla:
"-İşte geriye doğru yaşamanın sonucudur bu," dedi, "çünkü geriye doğru yaşamak başlangıçta, insanın biraz başını döndürür."

Through the Looking Glass - Lewis Carroll

Reçel paradoksu hakkında yorum:

Buradaki "bugün" sözünün mutlak bir tarihi mi (ör, 12 Haziran 1997), yoksa relatif olarak daima içinde bulunduğumuz günü mü gösterdiğini tartışmak gerekir.

Birincisiyse, paradoks yok. Demek ki, 12 Haziran günü reçel yiyemiyoruz, ama 11 Haziranda yiyebilirdik ve 13 Haziranda da yiyebileceğiz.

Fakat ikincisiyse, o zaman bu sözün anlamı şudur: Sana reçel filan yok.

İnceleme:

Alice'in esas itirazı oda hizmetçisi olmayı istememiş olmasıdır, reçel ikinci sıradadır ve oda hizmetçisi olmakla ilgisi yoktur.

Kraliçe, esas itirazı görmezden gelerek ikincil itiraza yükleniyor. Sanki, reçele ikna edersem, oda hizmetçiliğine de ikna edebilirim, diye düşünüyor.

Alice zokayı yutuyor, bugün reçel yemek istemediğini söylüyor.

Kraliçe paradoksal cümleyi söylüyor, Alice'in kafası iyice karışıyor.

Nihayet Kraliçe bütün anlamsızlığı daha anlamsız bir yere bağlıyor: Burada geriye doğru yaşarız, kafanın karışması ondan.

Alice'in kraliçeyle tartışamaması doğal, çünkü Kraliçe Alice'le sürekli dansediyor.



Alaaddin'in cini paradoksu

(Robert Louis Stevenson'un Şişedeki Cin)

Biri sihirli lambayı sizin istediğiniz fiyata size satmak istiyor, ancak bir uyarısı var: Cin sizin bir arzunuzu yerine getirdikten sonra lambayı satın aldığınızdan daha az bir fiyata satacaksınız. Aksi halde cin size eşi görülmemiş işkenceler yapacak. Onu atamaz veya bedava veremezsiniz. Lambayı kaça alırdınız?

Açıkça görülüyor ki, onu 5 bin liraya (yani, tedavüldeki en küçük paraya) almazsınız, çünkü bundan daha azı olmadığından başkasına satamazsınız.

10 bin liraya da almazsınız, çünkü sizden sonrakine 5 bin liraya satmak zorunda kalırsınız ve o da başka birine satamayacağından almak istemez.

15 bin liraya alırsanız 10 bine birine satabilirsiniz, o da 5 bine bir başkasına satabilir. Sonuncu kişi gene kimseye satamayacağından almak istemeyecek ve lambanın elinde kalacağını düşünen sizin satmak istediğiniz kişi de onu almayacaktır.

Genel olarak Türkiye nüfusu 80 milyon olsa siz lambayı 80 milyon X 5 bin liraya da almak istemeyeceksiniz.

Ancak bu satıra gelene kadar mutlaka aklınızda bir fiyat geldi; örneğin bu lambayı 1 milyona alırım, sonra 900 bine birine okuturum demiş olabilirsiniz. Sıra sonuncu kişiye gelene kadar kim öle kim kala.

Zeno paradoksları

Zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy):

Bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2'sini gitmesi gerekir. Ancak d/2'sini gitmeden önce d/4'ünü gitmesi gerekir. d/4'ünü gitmeden önce d/8'ini gitmesi gerekir vs. Bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. Öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. O halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.

Bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. Bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. Yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.

Zeno'nun 2. paradoksu (Achilles ve kaplumbağa paradoksu):

Kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. Aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. Aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. Bu böylece devam ederse Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. Ancak Aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. Paradoks.

Bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.

Zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu):

Uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. Ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez; öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?

Zeno'nun 4. paradoksu (Stade paradoksu):

Bu paradox zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (Tam metnini bulamadım, bilen var mı?)

Arrow'un paradoksu

Tamamen demokratik bir oylama sadece pratikte değil teoride de mümkün değildir.

Berber paradoksu

Seville'de kendisini tıraş edemeyen her erkek Seville Berberi tarafından tıraş edilecektir. Berber kendisini tıraş etmeli midir? (Bu paradoksu ortaya atan B Russell'dır.)

Berber bir kadınsa paradoks yok, değilse böyle bir yasa çıkarılamaz.



Para paradoksu
Aynı paradan ikisini yan yana koyup birini sabit tutarak diğerini onun etrafında döndürün. Döndürülen para yarım tur attığında kendi ekseni etrafında bir tam tur atmış olacaktır.

Epimenides paradoksu

MÖ 6 yüzyılda Epimenides şöyle dedi: "Bütün Giritliler yalancıdır, bunu bana Giritli bir şair söyledi."

Şairin doğru söylediğini kabul edelim. Bu cümle kendisi dahil bütün Giritlilerin yalancı olduğunu ifade ediyor. Öyleyse şair yalancıdır. Çelişki.

Şairin yalancı olduğunu kabul edelim. Bu durumda şunu demiş olur: "Bazı Giritliler (en az bir Giritli) yalancı değildir." Yalancı olmayan en az bir Giritli varsa paradoks yok: Şair yalancıdır.

Timsahın dilemması

Timsahın biri Nil kenarında çamaşır yıkmakta olan bir kadının bir anlık gafletinden yararlanarak onun çocuğunu yakaladı. Kadın çocuğunu geri vermesi için timsaha yalvardı. Timsah, "çocuğuna ne yapacağımı doğru olarak tahmin edersen, onu sana veririm, aksi halde onu yerim," dedi.

Kadın, "Ay! Yavrumu yiyeceksin," diye bir çığlık attı.

Timsah, "pekala," dedi, "artık onu sana veremem, çünkü böyle yaparsam sen yanlış tahminde bulunmuş olursun. Halbuki sana yanlış tahminde bulunursan onu yiyeceğimi söylemiştim."

"Tam tersine," dedi kadın, "yavrumu yiyemezsin, çünkü onu yersen doğru tahminde bulunmuş olurum ve doğru tahminde bulunduğumda onu bana vereceğini söylemiştin."

(Benzer bir paradoks da şöyledir: Kral adama, "bana bir şey söyle, doğru çıkarsa seni astıracağım, yanlış çıkarsa senin boynunu vurduracağım." Adam, "benim boynumu vurduracaksın," dedi.)

Bütün kümelerin kümesi paradoksu

Profesör, "bir kelime anlamıyla uyumlu ise ona otolojik, değilse hetereolojik denir," dedi ve şu örneği verdi: "Dört harfli kelimeleri kısa kabul edersek, kısa kelimesinin kendisi de kısa olduğundan bu kelime otolojiktir, uzun kelimesinin kendisi uzun olmadığından bu kelime heterolojiktir. Aynı şekilde üç üç harfli olmadığından heterolojiktir, dört dört harfli olduğundan otolojiktir."

Bir öğrenci söz istedi: "Hocam, heterolojik kelimesinin kendisi heterolojik midir, yoksa otolojik mi?"

Bu, tabii ki, bir paradoks; heterolojik kelimesi otolojikse heterolojik, heterolojikse otolojiktir.

Otel paradoksu

Sonsuz odalı bir otelin bütün odaları doludur. Bu otele 6 kişi daha gelirse bunlar nasıl yerleştirilebilir?

n. odadaki müşteri n + 6 numaralı odaya nakledilerek ilk 6 oda boşaltılır. (Peki yeni gelen müşteri sayısı sonsuz olsaydı?)

Matematiksel olarak burada bir sorun yok, çünkü sonsuzun matematiksel tanımına göre yeni gelenler yukarda verilen yöntemle yerleştirilebilir. (Sonsuz sayıdaki müşteri için de aynı yöntem geçerlidir.)

Fiziksel olarak da sorun yok, çünkü sonsuz odalı otel bulur ve bütün odalarını doldurabilirseniz, yeni gelen 6 kişiyi yerleştirmeyi üstlenebilirim.

HİDROSTATİK PARADOKS
Kimileriyle mantıklı olunamaz. Bunun bir nedeni hidrostatik paradokstur. Hidrostatik paradoksun iki yorumu bulunur:

Birleşik kaplardan biri bir parmak kalınlığında diğeri de okyanusu alabilecek kalınlıkta olsun. Bunlara su konulduğunda her iki koldaki su da aynı düzeye gelir. Kendisiyle mantıklı olunamayan kişilerle konuşmanın sonucu işte böyle bir şeydir.
İkinci yorumu şöyledir: Murphy demiş ki, "aptallarla tartışma, diğerleri aradaki farkı anlamayabilir."
Eskiler derler ki, cehalet 3 çeşittir: Cehl-i basit, cehl-i mürekkeb, cehl-i mik'ab.

Matematiğin diliyle, cehl-i basit birinci dereceden cehalettir. Bilmez, bilmediğini bilir ve sorar. Bu nedenle öğrenmeye açıktır.

Cehl-i mürekkebe cehaletin karesi diyelim. Bilmez, bilmediğini de bilmez, bilmediğini bilmediği için de aramaz. Cehaletinin başlıca nedeni ilgisizlik olduğundan ilgisini çekmeden bir şeyler anlatmak mümkün değildir. Israr etmediği için zararsız, fakat öğrenmeye niyeti olmadığından faydasızdır.

Cehl-i mik'ab cehaletin küpüdür. Bilmez, bilmediğini de bilmez ama biliyorum diye ısrar eder. İşte bunlar öğretilemez.

Hidrostatik paradoksun birinci derecede nedeni bu sonunculardır. Özellikle bu son türlerle mantıklı olunamaz.



Kutu kutu top

Bir kutuya her defasında 10 top konup 10. top geri alınıyor. Bu işe sonsuz kere devam ettiğimizde kutuda kaç top kalır?
Bir kutuya her defasında 10 top konup sırayla 1. toptan itibaren birer top geri alınacaktır. Bu işe sonsuz kere devam ettiğimizde kutuda kaç top kalır?
Simpson'un paradoksu

Farklı grupların ortalamalarının ortalaması grupların birleşik haldeki ortalamasına eşit olmak zorunda değildir.

İlk dava (Avukatın dilemması)
Hukuk fakültesini bitiren genç, ülkenin en ünlü avukatının yanında staj yapmak için başvuruda bulunur. Avukat gence tek şart ileri sürer: "İlk davandan elde ettiğin bütün parayı bana vereceksin". Anlaşma imzalanır ve iki yıl beraber çalışırlar. Tam staj bittiğinde genç anlaşmayı haksız bulduğunu, ilk davadan kazandığı parayı ona vermeyeceğini açıklar. Avukat tazminat talebi ile mahkemeye başvurur.

Hakimin kararı ne olmalıdır?

İki davalı duruşmada hakimin karşısına geçtiğinde avukat şunu söyler:

"-Sayın yargıcım, bu davayı uzatmaya gerek yok; çünkü eğer ben kazanırsam zaten parayı alacağım, eğer kaybedersem yine alacağım, çünkü anlaşmamıza göre o ilk davasından kazandığı parayı bana verecek."

Hakim tam avukatı haklı bulacakken bu kez genç avukat söz alır ve şöyle der:

"-Sayın yargıcım, evet avukat haklı, bu duruşma gerçekten gereksiz, ama benim lehime; zira eğer ben bu davayı kazanırsam zaten ona birşey ödemeyeceğim. Eğer kaybedersem, anlaşmamıza göre ilk davayı kaybettiğim için ona yine bir şey ödemeyeceğim."

II. MURAT'IN DİLEMMASI

Sultan II. Murat 1444 yılı Ağustos'unda tahtı 12 yaşlarındaki oğlu II. Mehmet'e (daha sonra Fatih Sultan Mehmet olacak) bıraktı. Tahta bir çocuğun geçtiğini öğrenen İtalyan, Alman, Lehistan (şimdiki Polonya), Macaristan, Sırp ve Ulahlardan müteşekkil yeni bir Haçlı Ordusu Eylül'de savaş ilan edip Varna'ya kadar geldi. Bunun üzerine II. Mehmet Manisa'ya çekilen babası II. Murat'a bir mektup gönderdi:

Padişah biz isek, size emrediyoruz, gelip ordunun başına geçiniz; yok siz iseniz gelip devletinizi müdafaa ediniz.

Sultan Murat derhal Edirne'ye gelerek tahta yeniden oturdu ve 10 Kasım 1444'te Varna'da Haçlılarla yapılan savaşta ordunun başında bulundu. Haçlılar bozguna uğradı.

Kralın dilemması

Kral ülkenin yalancıları arasında bir yarışma açtı. "İşte bu yalan," diyebileceği bir yalan uydurana bir küp altın vadetti. Yalancılar akın akın saraya gelip yalanlarını söylediler, fakat yalanlar ne kadar akıl almaz olursa olsun kral hep, "olabilir, niye olmasın ..." gibi cevaplar veriyordu. Böylece hem eğleniyor, hem de bir küp altından olmuyordu.

Derken kahramanımız elinde boş bir küple huzura çıktı ve konuştu:

"-Rahmetli dedeniz bir savaşa çıkacaktı, ancak o günlerde hazinede yeterli para yoktu. Dedeniz dedemden bu küple bir küp altın borç aldı ve 'bu borcumu torunum torununa ödeyecek,' diye söz verdi. Şimdi, dedenizin borcunu bana ödemeniz için buraya geldim."

Kral, "işte bu kuyruklu bir yalan!" deyince adam, "o halde ödülümü alayım," dedi.




SOBA BORUSU


Fizikçi, matematikçi, kimyacı, jeolog, antropologdan oluşan bir heyet bir araştırma için arazide bulunmaktadır. Birden yağmur bastırır. Hemen yakındaki bir arazi evine sığınırlar. Ev sahibi bunlara bir şey ikram etmek için biraz ayrılır.
Hepsinin dikkati soba üzerinde toplanır. Soba yerden 1 m kadar yukarda, altındaki dizili taşların üzerindedir. Sobanın niçin böyle kurulmuş olabileceğine dair bir tartışma başlar.

Kimyacı, "adam sobayı yükselterek aktivasyon enerjisini düşürmüş, böylece daha kolay yakmayı amaçlamış."

Fizikçi, "adam sobayı yükselterek konveksiyon yoluyla odanın daha kısa sürede ısınmasını sağlamak istemiş."

Jeolog, "burası tektonik hareketlilik bölgesi olduğundan herhangi bir deprem anında sobanın taşların üzerine yıkılmasını sağlayarak yangın olasılığını azaltmayı amaçlamış."

Matematikçi, "sobayı odanın geometrik merkezine kurmuş, böylece de odanın düzgün bir şekilde ısınmasını sağlamış."

Antropolog, "adam ilkel topluluklarda görülen ateşe tapmanın daha hafif biçimi olan ateşe saygı nedeniyle sobayı yukarıya kurmuş."

Bu sırada ev sahibi içeri girer ve ona sobanın yukarda olmasının nedenini sorarlar. Adam cevap verir: "Boru yetmedi."